Logique et paradoxes - Bien ranger son argent

Maintenant que l’espérance de vie augmente et qu’on envisage même de faire des clones qui serviraient de banque d’organes permettant, pourquoi pas, de nous rendre éternels, de nouveaux problèmes se posent pour la gestion de nos économies.

En effet, deux personnes gagnant une somme identique chaque jour et en dépensant la même proportion chaque jour, même si elles n’utilisent que leur grenier pour cacher leurs économies peuvent se retrouver à terme dans des situations très différentes. Précisons tout cela.

Julie et Jacques, chaque jour, gagnent deux pièces d’or et en dépensent une.

Julie procède de la façon suivante pour gérer son argent : le jour numéro n elle gagne deux pièces que nous noterons P_n et Q_n. Elle place P_n dans son grenier et prend Q_n qu’elle dépense. Le premier jour la pile de pièces de son grenier est [P₁], le second jour [P₁, P₂] le troisième [P₁, P₂, P₃], etc.

Jacques lui, craignant l’usure du temps, préfère faire circuler ses pièces et donc trouve plus malin de procéder ainsi : chaque jour, il place sous la pile des pièces de son grenier les deux pièces qu’il vient de gagner P_n et Q_n, et prend la pièce qui se trouve au-dessus de la pile, pièce qu’il dépense. Le premier jour sa pile est donc [Q₁] (il a placé P₁ et Q₁ dans sa pile de pièces et s’est servi). Le second jour, sa pile est devenue [P₂, Q₂] (il a ajouté les deux nouvelles pièces P₂ et Q₂ sous la pile, ce qui lui a donné [Q₁, P₂, Q₂ ] et s’est servi au-dessus). Le troisième jour, sa pile est devenue [Q₂, P₃, Q₃], puis le quatrième [P₃, Q₃, P₄, Q₄] puis le cinquième [Q₃, P₄, Q₄, P₅, Q₅], etc.

À la fin des temps, bien qu’ayant gagné et dépensé la même chose chaque jour, Julie sera infiniment riche et Jacques sera totalement ruiné. En effet, Julie, à la fin des temps, disposera dans son grenier des pièces P₁, P₂, P₃,... soigneusement économisées chaque jour. Jacques, de son côté, n’aura rien car chaque pièce qu’il aura placée dans sa pile aura été dépensée. On peut même préciser : la pièce P_n placée dans la pile le jour numéro n aura été dépensée le jour 2n-1, et la pièce Q_n, elle aussi placée dans la pile le jour numéro n, aura été dépensée un peu plus tard le jour 2n. Chaque pièce finit par être dépensée, donc au final, il ne reste rien à Jacques.

N’est-ce pas absurde (et injuste) que gagnant et dépensant la même chose, Julie soit devenue infiniment riche et Jacques totalement ruiné !